从前有一棵树叫“高数”上面挂了很多人,上面挂着洛必达,欧拉,克莱姆,在伯努利的辛勤灌溉下,这棵树茁壮成长。这些人死后就葬在微积坟(微积分),坟的后面是一片广阔的麦克劳林(Maclaurin),林子里有一只费马(Fermat),它喜欢在柯溪(Cauchy)喝水,溪里撒着用高丝(Gauss)做成的ε-网,有时可以捕捉到二次剩鱼(二次剩余)。

对于约翰·伯努利这个名字,很少出现在我们的微积分视野中,在AP微积分中不乏用人物命名的定理,伯努利显然不是其中之一。

伯努利师承莱布尼兹(上一篇文章中与牛顿争论一生的伟大数学家👉牛顿、莱布尼兹到底谁是“微积分之父”?微积分经典之战了解一下),但他本身取得的是艺术学与医学的双硕士,又是欧洲大陆上一个“半路出家”的数学家

约翰伯努利对于微积分的贡献主要包含三个部分:

1.培养了大量的学生

这些学生在后面的数学史中都赫赫有名,包括在BC中直接可以接触到的洛必达,欧拉,以及在线性代数中能遇到的克莱姆,他自己的儿子丹尼尔伯努利(流体力学),以及欧拉的徒弟拉格朗日(Mean Value Theorem),拉格朗日的徒弟柯西,柯西的徒弟高斯,高斯的徒弟黎曼。

再加上伯努利本身师承莱布尼兹,这愣生生地把微积分变成家族企业。这些天才在伯努利和莱布尼兹耕耘的土壤上结下了累累硕果,将微积分发展与完善直至形成今天的模样。


2. 第一个提出在方程或是函数运算中使用变量替换思想

也就是说约翰.伯努利在当时提出了我们今天常用的换元法的原始思想。在积分运算中,有一种积分令很多同学头疼不已,在计算上具有难度,但是从逻辑上有非常的缜密。

我们可以将替代为,进而简化计算,这就是换元法思想。同样的,在极限的学习中,用狗替换掉x,也同样是换元的思想。


3.洛必达法则的真正发明者

非常可惜的,本来伯努利是有机会出现在后人的书本中的,但是他却把这个法则以300法郎的价格卖给了洛必达

洛必达是科学界难得的出生便家境优渥的人,是个不折不扣的富二代,出生的时候便自带爵位。在这种家庭情况下,洛必达没有沉迷于享受,反倒投入到科学研究的热潮。少年的时候洛必达也是个天才,在15岁的时候以帕斯卡遗留的摆线问题为开端,开始了自己的数学研究生涯

后因为解决了约翰.伯努利提出的最速降曲线问题得到了约翰.伯努利的青睐,归入到约翰.伯努利的门下学习微积分

但在后面的日子里,洛必达并没有一鸣惊人,因为科学研究仅仅凭借努力是不够的,灵感才是开启大门的钥匙。洛必达无法忍受自己的平庸,他想要获得一些数学界的名声,于是他忽然想起来了,虽然没有天赋,但是他有钱。

1694年的7月22日,洛必达在给老师约翰.伯努利的一封信中直言不讳,询问伯努利最近有没有什么研究上的成果,请老师开价,他想要购买。

而当时的约翰伯努利正在准备结婚,在任何时代的男生娶媳妇都非易事。而约翰伯努利并非有钱的主,而且之前曾经讲过他的老师莱布尼兹也被牛顿“压迫”的够呛。

此时洛必达的信件无疑让事情变得简单,买卖科学成果这样的事即便现在也是常态,约翰.伯努利欣然接受,主动拿着论文找到学生洛必达,一手交钱一手交货。

于是,便有了洛必达在他1696年的著作《阐明曲线的无穷小分析》中发表了微积分中的求极限利器——洛必达法则,就如同大家刚听到洛必达法则的时候,第一感觉就是既然有这么好用的东西,为什么一开始不先拿出来。

有了洛必达,你可以不会重要极限,可以不会在有理函数中找最大,也可以不会在极限中识别导数的定义。只要满足未定式,便可以动手洛起来。

当时的数学界也有同样的感受,于是这个准则轰动了当时的数学界,洛必达因此而名声大噪,但是洛必达英年早逝。此时的约翰伯努利终于感受到了牛顿的痛苦,他所忽视的一个准则,却产生了如此轰动的影响。

因此在洛必达死后,约翰.伯努利决定向自己老师当年的对手牛顿同学学习,再次上演了欺负死人不会说话的经典桥段。在洛必达死后,约翰伯努利便向欧洲公布了当时关于洛必达法则买卖的来往信件,并向大家表明了自己才是洛必达法则发明人的身份。

但遗憾的是,约翰.伯努利的这一行为被当时人视为不齿的行为,大多数人表示既然当时收了别人的钱就不应该现在又站出来在这里讨价还价。于是,300年过去了,这个定理依旧叫着洛必达定理

非常可惜地,本应在微积分历史上写上浓墨一笔的数学家,只能在幕布后,为微积分的发展浇灌自己的心血。

但他无疑是伟大的数学家,洛必达法则,欧拉法则,拉格朗日中值定理以及黎曼积分,都是AP微积分中十分重要的考点。

换元法的思想,在积分方法中也被充分的体现。而这些知识点,在微积分体系中都是通俗易懂的知识,容易理解与掌握,这可能是作为一个老师,留给我们这些微积分学生最后的温柔吧。

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