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Hello,学弟学妹们大家好~我是在CAIE考试局拿过四门A*的维希,不知不觉间,高数系列已经写到了最后一张paper了,相信你也对这一张号称“高数最难卷”的FP2感到好奇吧?今天让我们一起来通过这篇文章探探它的“庐山真面目”吧!

对前3张papers感兴趣的同学也可以去看看我前面的文章哦:

👉高数纯数1:A Level进阶数学自学攻略:4步法解析备考动作,补充A Level考前注意事项,带你拿A*!

👉进阶力学:A Level进阶数学FM高分攻略:分章节教你自学进阶力学,成功备考经验一并分享!

👉进阶统计:A Level进阶数学如何冲刺A*!如何自学A-Level进阶统计?需要哪些参考资料?考试注意事项有哪些?

A Level高数纯数2(FP2)FP2内容介绍

之前有提到过:CAIE考试局的A Level高数分为了四张卷子,分别为高数纯数1(FP1)、高数力学(FM)、高数统计(FS)和高数纯数2(FP2),难度逐渐攀升,而高数纯数2毫无疑问是这四张卷子里最难的。

如果说同为纯数卷的高数纯数1的重点还在于和A Level数学的内容衔接上的话,那么高数纯数2的难度系数就要“更上一层楼”了。如果你对纯数的印象仅仅局限于微积分,那么你就“too young,too naive”了,因为FP2显然引入了更多较为陌生、也是更为进阶的概念。

举个直观点的例子,FP2在积分(integration)这一章引入了全新的归约公式(reduction formula)的概念,而在微分(differentiation)这一章里更是引入了新奇的麦克劳林级数(Maclaurin Series)的内容。

看到这里,你是不是有些焦虑如何学好FP2了呢?别急,下面的内容或许对你有所帮助。

如何自学A Level高数纯数2

FP2这张卷子一共包含了六个章节,让我们来逐个击破~

Chapter 1

第一章双曲线函数(hyperbolic function)的内容是首次与大家见面,但千万别被这个“下马威”给吓到了,只要掌握技巧,双曲线函数并没有想象中那么难。

先来几个必须掌握的公式:

可以从图中看出,双曲线函数和三角函数(trigonometric function)颇为相似,而三角函数作为同学们在A Level数学阶段就已烂熟于心的知识点,显然从三角函数入手,比直接“生啃”双曲线函数要更具性价比。

那么,如何从三角函数推出双曲线函数呢?

答案就藏在奥斯本法则(Osborne’s rule)之中。根据Osborne’s rule,当我们把一个三角函数恒等式转换为双曲线函数恒等式时,可以直接把cos转换为cosh,但需要改变sin的乘积符号。

Chapter 2

来到了不少同学头疼的矩阵(Matrix)这一章,其实矩阵这一章难就难在“信息量太大”了,而且概念又确实颇为抽象

就比如diagonalisation的过程,那可真是太太太长了:假设有一个A矩阵,我们得先计算出一个P矩阵(由eigenvectors组成)和一个D矩阵(由eigenvalues组成),再计算出A矩阵和P矩阵的乘积,即AP(划重点!!不是PA。在矩阵相乘中,先后顺序是非常重要的,也是决定对错的关键);计算出P矩阵和D矩阵的乘积,即PD;最后,可得AP=PD。我们把一个可以写成A=PDP-1这种形式的矩阵称之为diagonalisable。

这也就意味着当题目要求计算出A20的时候,你没必要把A矩阵重复乘以20次了(那肯定考试结束还没算出来)。由于A=PDP-1,那么A20=(PDP-1)20;又因为PP-1=I(Identity matrix,是一个任何矩阵与之相乘都等于自己本身的矩阵),所以A20=PD20P-1。看似不可能计算出来的题目,就可以通过巧妙的diagonalisation解决了。

刚开始做矩阵相关题目时,感到困扰是正常的,不要因此急躁气馁。而破局之法也很简单——“无他,唯手熟尔”。

Chapter 3

第三章的章节名是微分(differentiation),相信大家都不陌生,毕竟是从A Level数学开始就耳熟能详的概念。

那么高数纯数2的微分到底有何不同凡响之处呢?

首当其冲便是对双曲线函数的微分。就比如sinhx的微分是coshx,而coshx的微分是sinhx。

我把常考的微分整理了一份供大家参考,如下图所示:

是不是觉得巨多?莫慌,这些式子绝大多数都可以在考试时下发的Formula Sheet里找到。但是根据经验,我还是建议大家自己学会推这些公式,尤其是关于inverse function的那部分。敲黑板:别以为公式表里有就可以偷懒了,考试可是会要求写出完整过程的,只知道结果只能喜提0分!!

此外,翻看Formula Sheet也是有时间成本的,而考试时间非常宝贵。想想看若是你对公式掌握熟练,节省下的时间是颇为可观的。悄咪咪提醒一句,每年都有因为做题太慢,所以不能做完整张卷子的考生,而他们往往得再花好几个月的时间去准备重考。浪费时间金钱不说,对心理也是一个巨大的考验,实在是得不偿失

剩下有关麦克劳林级数的内容就更是小case啦~看似是很复杂的全新概念,但其实只需要掌握多次微分的知识点,再依照公式往里代入就行,可以说是非常朴实无华且枯燥了。

Chapter 4

既然微分是和双曲线函数有所关联的,那么无独有偶,FP2的积分(integration)部分自然也和它密不可分。

在解决积分部分的题目时,尤其需要注意观察题目类型,由于题型有些相似,建议看准题型再往上套公式,会顺畅很多,也避免踩坑。

若是遇到归约公式(reduction formula)也不打紧,只要把In的幂(power)分割正确就成功了一大半了。

比如下面这道题目,直接明示了In-2的重要性,所以只要把In分割成In-2和I2就可以了。明确了这个核心步骤后,其他过程无非是一些A Level数学里就已经学过的积分技巧,比如分部积分法(integration by parts)。

Chapter 5

复数(complex number)这一章的核心概念在于de Moivre’s theorem,以及一些之前A Level数学P3卷里学到过的知识点的进阶内容。

打个比方,之前我们就已经知道z=rcosθ+irsinθ,这是modulus-argument form;但在FP2的考纲内,我们还需要掌握zn=(rcosθ+irsinθ)n=rn(cosnθ+isin nθ),这就是大名鼎鼎的de Moivre’s theorem,它的重要性简直不言而喻。可以这么说,这个theorem是你想要进入complex number这一章的门槛,跨不过去就只能止步于门外了。

还有一些需要掌握的公式,如下图:

老规矩,建议自己先推导一遍,这可以有效降低考试时遭遇“滑铁卢”的概率。

Chapter 6

终于来到最后一章啦~

与之前的三张paper有所不同的是:作为FP2最后一章的微分方程(Differential Equation,之后简称DE)单论难度,其实并不能说是所有章节中的翘楚,但这不代表你可以轻敌。

微分方程分为两种:

第一种是First order DE。一般来说有两类方法可以解决,其一是分离变量法,其二是积分因子(integrating factor)。

第二种是Second order DE,情况相较于First order DE更为复杂,需要整理出particular integral(PI)和complementary function(CF),把二者相加才可以成功得出这个微分方程的general solution(GS)。

A Level高数纯数2建议

如果你认真看完了以上的内容,就会发现第一章的双曲线函数的意义非同凡响,绝不是打个酱油就走的那类知识点,它可是在之后的几章都一直保持着“高出镜率”的。

所以我建议大家在学第一章的时候一定要把基础打好,可以采取结合图像的方法去学习双曲线函数的有关内容,再根据图像去推导infinity和limit等相关知识点。图像承载的信息非常丰富,掌握图像会让之后的学习更顺遂一些~

除此之外,如果你为了FP2的题目烦恼的话,也千万不要自暴自弃。首先得承认的一点是,高数纯数2确实是四张卷子里难度系数最大的那一张paper,不要着急,多给自己一些时间。可以在刷真题时,总结错题经验,并且尽量保证下一次不要犯同样的错误,至少要保证自己是在不断进步的,哪怕慢一些,也没有关系。

希望大家能够成功攻克这一高数最难关卡,离A*更进一步~

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