2021年AP微积分AB考试整体点评

2021年AP北美考区的微积分AB考试,从整体难度上讲,不是非常的容易,有部分较难理解的题目,但依旧没有超出考纲考察的范围,并且考点也是历年常考的地方。

第1题的b问,虽说考察的是简单的黎曼和近似,但在函数形式上发生了变化,而且考生也容易遗漏表达式前面的2π,导致回答错误。

第3题的b问主要在题目理解上有一定难度,能否根据题目给出的描述,将文字语言转化为数学语言是解题的关键。而且不同于以往题目的求面积与体积,第3题使用了family function的形式,通过给出不同的条件求解函数中的c,是该题的特点。

第6题的a问考察了在斜率场中画出方程b问考察对水平渐近线的理解以及解释,是往年不常考察的方式,也会对考生答题造成一定的难度。

整体来说,从FRQ的考察来看,2021年北美考区的微积分AB题目有较灵活的出题方式,但也严格根据考纲展开进行。灵活题目的占比不多,所以并不会对考生答题带来太大的压力。只要根据考纲对知识点复习充足,拿到5分还是比较容易的

2021年AP微积分AB考试逐题点评

第1题

a. 考点:估计导数值

选取距离2.25同样远近的两点2和2.5,即可通过这两点的函数值,估计出2.25处的导数值。

b. 考点:使用右黎曼和估计定积分值

注意需要估计的函数为r*f(r),并且在使用黎曼和估计后还要整体乘2π。

c. 考点:黎曼和面积是否高估or低估

使用黎曼和近似与真实值的比较需要根据函数的增减性来决定,由于该函数在给定区间内是单调递增的,因此右黎曼和会比实际值高。

d. 考点:Average rate of change

在给定区间内求出平均变化率,再使g(k)等于平均变化率,即可求出k的值。

第2题

a. 考点:position与velocity的关系、微积分基本定理

由于对position函数求导即为velocity函数,因此已知velocity函数表达式与x(0)=5,即可通过微积分基本定理求出P点在t=1时的位置。Q点同理。

b. 考点:velocity与物体运动方向

判断P、Q两点在t=1时是相对而行还是渐行渐远,不仅需要根据a问两物体的位置比较,还需要计算出两物体在t=1时的velocity,从而判断运动方向。若velocity为正,则向右运动;若velocity为负,则向左运动。

c. 考点:acceleration与velocity的关系、speed增减问题

对velocity求导即可得到该物体的acceleration,而关于speed的增减问题,需要看某一时刻该物体的velocity与acceleration是同号还是异号。若同号则speed增;若异号则speed减。

d. 考点:distance的求法

distance为物体的运动路程,因此需要对velocity加绝对值求定积分。

第3题

a. 考点:定积分求面积、换元法求积分

根据c=6,计算出定积分的上下限,再进行求积分即可。求积分过程中需要使用换元法。

b. 考点:极大值

这道题说圆切面最大的半径为1.2,根据图像轨迹,也就是极大值为1.2。因此利用导数表达式先计算出y在何处取极大值,再代入,即可得到c。

c. 考点:定积分求旋转体体积

利用定积分求旋转体体积的计算公式,使得该式等于2π,即可求出c的值。

第4题

a. 考点:上限积分求导、函数的凹凸性判定

由于G为上限积分函数,所以G’(x)=f(x),因此通过判断f(x)图像的增减,即可判断G的凹凸性。

b. 考点:Product rule乘法求导公式

根据乘法求导公式求导后,通过图像f的斜率和面积即可得到P’(3)。

c. 考点:洛必达法则

由于分母分子在x趋近于2时均为0,因此利用洛必达法则对分子分母分别求导即可求出极限值。

d. 考点:Average rate of change、MVT中值定理

先根据公式求出平均变化率,再判断是否满足MVT的使用条件,MVT需要在连续可导区间,由于f在-4到2区间每个点都有值,因此G在该区间可导,所以满足MVT。

第5题

a. 考点:隐函数求导

在equation两边同时对x求导,整理后即可得到导数式。

b. 考点:切线方程

通过a问的导数式,代入点坐标即可得到切线斜率,再利用point-slope form可写出切线方程。

c. 考点:水平切线

水平切线的斜率为0,因此寻找导数值为0的点即可。

d. 考点:极值点判定

根据c问中得到的水平切线的点,即为critical points,之后对这些点进行判定,若是从负到正,则为极小值;若是从正到负,则为极大值。

第6题

a. 考点:斜率场

根据题目中给出的微分方程,以及通过点(0,0),即可画出对应的特解原方程。

b. 考点:水平渐近线

由于当t趋向于∞时,A趋向于一个值,因此A的水平渐近线为y=12。在解释时需要注意使用A的单位。

c. 考点:分离变量法求解微分方程

通过分离变量法求出y的通解,再代入初始值A(0)=0,即可求出y的特解。

d. 考点:函数的增减性判定

由于给出了微分方程,因此将t=1,y=2.5代入即可得到在t=1时的导数值,通过导数值的正负即可判定B在t=1时的增减性。

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TD福利

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