关于概率这个系列我们之前已经有了2篇文章,分别是“输光问题”和“分赌本问题”,通过这两个问题奠定了整个概率论的思想。

👉十赌九输”大揭秘!原来概率还能这样学以致用 |AP干货
👉从概率论看赌博问题:分赌本问题你被误导了嘛?| AP概率论第二讲

不难看出,有些事情通过概率计算过后会跟直觉有很大差异,甚至完全不同。例如“输光问题”中的例子:明明每一场赢钱的概率都是0.5,感觉上应该不至于输光。但结果经过概率的计算,玩到最后输光本金的概率竟然是100%。

今天我们再来看一个类似的概率问题——“三门问题”,这个问题证明起来并不复杂,用AP 统计学当中的条件概率就可以计算出来

问题提出

三门问题也叫做Monty Hall Problem。出自美国的一个电视游戏节目《let’s make a deal 》,提出这个问题的人正是这个节目主持人 Monty Hall。

节目当中的游戏规则是这样的:参赛者会面对ABC三扇门,其中1扇门后面放的是汽车,其余两扇门后面是山羊。如果挑战者选到了汽车,那么汽车就会作为奖品归挑战者所有,如果选到山羊,山羊就会攻击参赛者。

主持人Monty事先知道每扇门的后面是什么,当参赛者选完门之后,不管选中的是汽车还是山羊,主持人都不会直接打开另一扇有山羊的门,而是询问参赛者是否要换另一扇门。

比如说你选中了下图中的A门,然后主持人从剩下的两扇门里面打开了一扇有山羊的门B。然后关切地问你:“我已经帮你去掉了一个错误的答案,你是否要从A换成C呢?”

看文章的同学们可以暂停1分钟来思考下这个问题:换还是不换?

1. 大部分同学可能认为不换,依旧选择A。因为大家的直觉是:赢得汽车的概率就是1/3,换不换都一样

2. 还有一部分同学选择换,选C,因为他们认为赢得车子的概率会提高

概率知识(AP所涉及到的知识点)

解决这个问题,我们需要用到条件概率的相关知识。首先来看下定义:

已知某件事情发生之后,另一件事情发生的概率。比如事件A叫做复习,事件B叫做考试得满分。那么在复习的基础上,考满分的概率就被叫做条件概率,记作条件概率的相关公式如下,这个公式是我们已知条件概率求事件A和B同时发生的概率的方法

让我们来看一道比较复杂的条件概率题目,比如下面这一道例题(2014年MC8 )

这道题我们可以这进行以下分析:飞机可能会因为两种原因出现延误。一种是天气问题(发生的概率是0.3),另一种是机械故障。在天气有问题的情况下机械故障的概率是10%,在天气没有问题的时候机械故障发生的概率是5%。求一种故障都不发生的概率。

这道题的考点就是条件概率的计算。P(飞机至少出现两种延误中的一种)=P(飞机出现飞机出现低温延误或机械延误=P(飞机出现低温延误)+P(飞机出现机械延误)=0.3+(1-0.3)×0.005(即不出现低温延误但出现机械延误的概率)=0.335。

上面的分析看起来不太容易接受,但是如果我们能够学会用tree diagram来分析问题就会显得一目了然了(下图中M代表机械问题,Icy代表出席天气问题)。其实tree diagram这个图对于同学们来说几乎是都曾经见过的,类似于思维导图。不是特别难画,但是却可以非常清晰地帮助我们解决概率问题

三门问题的概率计算

首先给出结论,结论就是:我们一定要换。因为换门之后我们选中汽车的概率将会从1/3提高到2/3。理由如下:

首先在最一开始选择门的时候,每一扇门被选中的几率都是相同的(1/3),那么当我们改变选择之后,可能会出现下面的2种情况:

1. 参赛者挑山羊,主持人挑山羊。转换将赢得汽车。(概率为2/3*1=2/3)

2. 参赛者挑汽车,主持人挑羊一号。转换将失败,和参赛者挑汽车,主持人挑羊二号,转换将失败。此情况的可能性为:(1/3*1/2+1/3*1/2=1/3)

认为上面概率计算看起来复杂的同学可以看下面的tree diagram图来分析。现在整个游戏可能会出现的情况已经用下图表示了。我们可以把“改变选择的汽车”这个事情当成条件概率来去计算,在已知第一次选择的是山羊的前提下,改变选择的到汽车的概率是100%。

同理在已知第一次选择的是汽车的前提下,改变选择的到汽车的概率是0%。这里面的100%和0%就被叫做条件概率(conditional probability)。那我们就可以看到第一次选择山羊的概率是2/3,之后再改变选择的到汽车的总概率就是2/3*1=2/3。因此我们可以看出改变选择是更好的决定

通过三门问题,我们会发现很多时候人们的直觉和最终计算出的结果截然不同。所以在遇到问题的时候千万不要想当然,冷静去分析,才能做出最好的决定。

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