AP统计学最经典的三种概率分布讲解：伯努利分布/二项分布/正态分布的定义及三种概率分布之间的关系

首先对看到这篇文章的同学们提一个问题：从小到大你们有没有因为某几次考试考得不好而怀疑自己不是学习的料？

今天我们来科普一下在概率论当中非常典型的三种概率分布：分别叫做伯努利分布、二项分布以及正态分布。通过这三种分布的关系来跟大家分析一下考试好坏到底和天赋有何关系。这三种分布同样也会出现在AP统计的考试当中，但是作为科普文，今天只重点讨论三种分布之间的关系，而不会涉及到过多的计算和证明。（此文章可放心食用）

伯努利分布

我们先来从伯努利实验谈起。如果一次实验只有2种结果：成功或者失败，每次实验成功的概率都是p，且每次实验的结果之间互相不影响，我们就称作这种实验为伯努利实验。

举个例子，一个什么都不会的学生去做五选一的选择题就属于伯努利实验。因为猜对答案就相当于成功，成功概率为1/5. 并且第一题是否蒙对和第二题是否蒙对互相不影响。

那么什么叫做分布呢？用大家熟知的直方图来去表示一下。假设一道题目做对得1分，做错得0分。就可以画出一个这样的直方图，横坐标为得分，纵坐标为得分对应的概率。这个就叫做分布

二项分布

再给大家举个例子。假设小明同学参加考试，10道题全都不会做。那么他究竟能猜对几道题在考试成绩下来之前我们不得而知。因此统计学上把他能够做对的题目数量也称作随机变量。通过我们刚才的概率计算下来，小明同学可能得到的分数已经对应的概率分布见下图：

正态分布

正态分布（normal distribution），也称作“常态分布”，是一种极为常见的连续性概率分布，也是一种极为常见常用的概率分布模型。如果随机变量X服从正态分布均值为μ，标准差为σ，那么随机变量X的概率密度曲线将会呈现钟形（中间高两边低），如下图：

老师个人认为，正态与常态两种称呼都不太能够直观的显示出这个分布的特点，不如从当中各取一个字称作“正常分布”就很白话了，这正是正态分布的本质含义。

因为在生活当中，它太常见了。有非常多的数据分布形状会接近正态分布的钟形（即中间高，两边低的对称形态）。比如：正常人群的身高、体重、考试成绩等等。

到现在一定会有同学纳闷：明明老师刚才说的成绩分布服从二项分布，怎么到了这一段就变成成绩服从正态分布了？这要从一个装置说起：

高尔顿钉版

18世纪英国著名科学家弗朗西斯·高尔顿发明了一个机械装置，可以很好的展现正态分布产生的过程（如下图）：

当小球撞到柱子的时候，会随机的选择向左走还是向右走，碰到下一个柱子继续随机选择左右。有多少层柱子就相当于多少小球随机进行了多少次选择，连续的执行了多次独立重复的实验。这就相当于重复多次伯努利实验产生的二项分布了。

当小球的数量非常多的时候，人们惊奇的发现这个二项分布的形状简直跟正态分布一模一样。

所以我们继续以考试为例，如果都是选择题，大家什么都不会全靠蒙，那么考试成绩一定会呈现一种正态分布。然而一定有同学会问：大家考试毕竟是靠真本事答题的，肯定不可能全部都蒙。那么这样成绩也会呈现正态分布吗？而且小球随机向左向右走的概率都是0.5，但是蒙五选一选择题时，蒙对的概率是0.2、四选一的选择题概率是0.25呀？

答案是：大致是这样的。因为同一道题，有的同学觉得简单，就一定会有同学觉得难。那放眼全部考生，就会涉及到一个概率问题了，比如说有60%的同学觉得简单，40%的同学觉得难。