在实数域中,连接两个真理的最短的路径是通过复数域。——雅克·阿达马

无论在何种教育体系下,欧洲体系,北美体系又或者是国内体系下,学习复数的标准方式都是利用叫做 x²+4=0 的方程。在传统的实数系中,解决一个类似的二次方程通常对两边取根号,然后对结果进行讨论。但是这种方法只适用于存在着实数根的例子,一旦变成 x²+4=0 这样的情况,就变得毫无办法。因为在实数范围内,并没有任何一个数的平方等于-4。

负根号的产生

其实对于这一问题,从文艺复兴时期,数学家卡尔达诺就对此展开了讨论,他讨论找到和为10且乘积为40的两个数的问题,即

利用二次函数的公式法,可以得到结果为

这仿佛就像是本来就没有意义的事情,因为不存在为何还要进行研究?就如同前面的
既不等于2,也不等于-2,只是一个表达形式,而并不具备数字本身的意义。

其实这种想法十分合理,这就如同去求解这两个方程的公共解,我们可以将它的图像描绘出来,解不出来就意味着没有解,既然没有解,就不需要继续探讨了。

x+y=10 & xy=40的图像

图像与代数的矛盾

于是卡尔达诺又“开心地”做起了其他内容的探讨,经过长时间的数学研究,他找到了求解三次方程的公式,通俗地讲:

这是卡尔达诺一生最伟大的公式,但是命运的安排总是充满戏剧性,这个公式虽然是准确的,但是不可避免地又出现了复数的身影。假设方程为 x³-15x-4=0,利用上面的公式

按照实数领域的认识,这个数字应该是不存在。但是当把图像绘制出来(如下图),会发现其实它的根是存在的。

y=x³-15x-4的图像

虚数的诞生

直到他去世也没有解决这个问题,公式其实是准确的,只不过缺少了一个新的数系作为媒介去连接不同的数值。这个问题最终在笛卡尔等数学家的努力下得到了解决,而此时这一符号也正式问世。

至此,人类开始以 i 定义数字

其运算规则为 i²=-1 同时也给它命名了一个好听的名字虚数(imaginary number),意为想象中的数字。以代表实数(real number)的对立面。而同时,如果将实数与虚数糅合到一起,便称为复数(complex number)。

而卡尔达诺跨越一个世纪的问题也得到了解答。

在化简之中 i 相互抵消,至此人们也明白了i 存在的真正意义——作为中间的媒介简化实数运算

而复数在高中阶段也是重要的考试内容,在SAT考试中,会考察复数的四则运算,将虚数与实数结合在一起,进行形如a+bi型数字的运算。

在美高课程Pre-Calculus中,除了四则运算外,还会考察复数的极坐标与指数表达形式,复数方程求解,以及德莫夫定律。除了a+bi这一种形式以外,还需要认识 r·cisθ,以及这两种形式的复数方程,而极坐标形式还可以帮助解决形如 z²+1=i 这种形式的复数方程。

在IB知识体系中,除了上述知识,还会涉及到欧拉公式以及麦克劳林级数与欧拉公式的证明。即为什么可以用

代替复数的写法,通过

的麦克劳林展开式可以建立二者之间的关系。

因此复数在高中的考试中经常出现,它是理解实数规律的便捷工具,同时也是考试中的送分点,通常不会有太大的难度,但充分理解也是必要的,否则就很难弄清楚自己在进行什么运算。

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1. TestDaily分享-新SAT官方指南, Page 254-255

2. TestDaily分享-Precalculus, 6 Edition, Page 793-811

3. TestDaily分享-Mathematics HL Guide 2014, Page 27-28

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